Lời giải chi tiết:

+ Gọi \(H\) là trọng tâm \(\Delta BCD \Rightarrow AH \bot \,\,\left( {BCD} \right)\).

+ Đáy hình nón là đường tròn ngoại tiếp \(\Delta BCD\)đều (tâm đáy là \(H\)).

\( \Rightarrow R = BH = \dfrac{2}{3}.BI = \dfrac{2}{3}.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\) 

+ \(h = \,AH = \,\sqrt {A{B^2} - B{H^2}}  = \sqrt {{a^2} - {{\left( {\dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}} \right)}^2}}  = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}\)

+ \({V_{n\'o n}} = \dfrac{1}{3}\pi {R^2}h = \dfrac{1}{3}\pi .{\left( {\dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}} \right)^2}.\dfrac{{a\sqrt 6 }}{3} = \dfrac{{\pi {a^3}\sqrt 6 }}{{27}}\).

Chọn C