Phương pháp giải:

Ta áp dụng :

+ Định lí đường phân giác trong \(AD\) của góc \(\angle BAC\) trong tam giác \(ABC:\frac{{BD}}{{DC}} = \frac{{AB}}{{AC}}\)

+ Định lí hàm cosin vào tam giác \(ABD\) để tính \(AD\) hay \({l_a}\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}}  = \sqrt {{b^2} + {c^2}} \)  

Do \(AD\) là phân giác trong của \(\angle BAC\) nên:

\(BD = \frac{{AB}}{{AC}}.DC = \frac{c}{b}.DC = \frac{c}{{b + c}}.BC = \frac{{c\sqrt {{b^2} + {c^2}} }}{{b + c}}.\)

Theo định lí hàm cosin, ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,B{D^2} = A{B^2} + A{D^2} - 2.AB.AD.cos\angle ABD\\ \Leftrightarrow \frac{{{c^2}\left( {{b^2} + {c^2}} \right)}}{{{{\left( {b + c} \right)}^2}}} = {c^2} + A{D^2} - 2c.AD.\cos {45^o}\\ \Rightarrow A{D^2} - c\sqrt 2 .AD + \left( {{c^2} - \frac{{{c^2}\left( {{b^2} + {c^2}} \right)}}{{{{\left( {b + c} \right)}^2}}}} \right) = 0\\ \Leftrightarrow A{D^2} - c\sqrt 2 .AD + \frac{{2b{c^3}}}{{{{\left( {b + c} \right)}^2}}} = 0\\ \Rightarrow AD = \frac{{\sqrt 2 bc}}{{b + c}} = {l_a}\end{array}\)

Chọn  D.