Câu hỏi
Cho lăng trụ đứng tam giác \(ABC.A'B'C'\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông cân tại \(B\) với \(BA = BC = a\sqrt 2 \). Gọi M là trung điểm \(A'C',\) biết \(BM\) hợp với mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) một góc \({30^0}\). Thể tích khối lăng trụ\(ABC.A'B'C'\) là:
- A \(\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3}\)
- B \(\dfrac{{2{a^3}\sqrt 3 }}{3}\).
- C \(\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{9}\).
- D \(\dfrac{{2{a^3}\sqrt 3 }}{9}\).
Lời giải chi tiết:
+ Vì \(ABC.A'B'C'\) là lăng trụ đứng \( \Rightarrow \) Hạ \(MN \bot AC\) thì \(MN \bot \left( {ABC} \right)\).
+ Góc giữa \(BM\) và \(\left( {ABC} \right)\).
\(B\) chung;
\(MN \bot \left( {ABC} \right)\).
\( \Rightarrow \) Góc giữa \(BM\) và \(\left( {ABC} \right)\) là \(\widehat {MBN} \Rightarrow \widehat {MBN} = {30^0}\).
+ Xét tam giác \(ABC\) có: \(A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} = {\left( {a\sqrt 2 } \right)^2} + {\left( {a\sqrt 2 } \right)^2} \Rightarrow AC = 2a\).
+ \(N\) là trung điểm của \(AC \Rightarrow BN\) là trung tuyến trong \({\Delta _v}ABC\).
\( \Rightarrow BN = \dfrac{{AC}}{2} = \dfrac{{2a}}{2} = a\).
+ Xét tam giác \(MBN\) vuông tại \(N\) có :
\(\tan \widehat {MBN} = \dfrac{{MN}}{{BN}} = \tan {30^0} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{3} \Leftrightarrow \dfrac{{MN}}{{BN}} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{3} \Leftrightarrow MN = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\).
+ \({V_{ABC.A'B'C'}} = MN.{S_{day}} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}.\dfrac{1}{2}.AB.BC = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3}\).
Chọn A
Câu hỏi trước
