Câu hỏi
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật, \(\Delta SAB\) đều cạnh a nằm trong mặt phẳng vuông góc với \(\left( {ABCD} \right)\). Biết \(SC\) tạo với \(\left( {ABCD} \right)\) một góc bằng \({30^0}\). Tính thể tích \(V\) của khối chóp \(S.ABCD.\)
- A \(V = \dfrac{{{a^3}\sqrt 6 }}{3}.\)
- B \(V = \dfrac{{{a^3}\sqrt 6 }}{6}.\)
- C \(V = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3}.\)
- D \(V = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6}.\)
Lời giải chi tiết:
Gọi \(H\) là trung điểm của \(AB,\,\,\Delta SAB\) đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy.
\( \Rightarrow SH \bot \left( {ABCD} \right),\,\,SH = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}\).
Xét tam giác \(SHC\) vuông tại \(H\) có \(SH = HC.\tan {30^0}\).
\( \Rightarrow HC = \dfrac{{SH}}{{\tan {{30}^0}}} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}.\dfrac{3}{{\sqrt 3 }} = \dfrac{{3a}}{2}\).
Xét tam giác \(BHC\) vuông tại \(B\) có:
\(B{C^2} = H{C^2} - B{H^2} = \dfrac{{9{a^2}}}{4} - \dfrac{{{a^2}}}{4} = 2{a^2} \Rightarrow BC = a\sqrt 2 \).
\({V_{S.ABCD}} = \dfrac{1}{3}SH.{S_{ABCD}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}.a.a\sqrt 2 = \dfrac{{{a^3}\sqrt 6 }}{6}\).
Chọn B
Câu hỏi trước
