Lời giải chi tiết:

+ Ta có: \(\Delta SOD\) vuông tại \(O\) (\(SO\) là đường cao).

\( \Rightarrow S{O^2} + O{D^2} = S{D^2} \Leftrightarrow O{D^2} = 6{a^2} - 2{a^2} = 4{a^2} \Rightarrow OD = 2a\).

+ Vì \(S.ABCD\) là hình chóp đều \( \Rightarrow ABCD\) là hình vuông.

Gọi \(O = AC \cap BD \Rightarrow O\) là trung điểm của \(BD,\,\,AC\) và \(AC \bot BD,\,\,AC = BD\).

\( \Rightarrow O{A^2} + O{D^2} = A{D^2} \Leftrightarrow 2O{D^2} = A{D^2} \Leftrightarrow 2.4{a^2} = A{D^2} \Leftrightarrow AD = 2\sqrt 2 a\).

\( \Rightarrow {V_{S.ABCD}} = \dfrac{1}{3}SO.{S_{ABCD}} = \dfrac{1}{3}.a\sqrt 2 .A{D^2} = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{3}.8{a^2} = \dfrac{{8{a^3}\sqrt 2 }}{3}\).

Chọn D