Câu hỏi
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình chữ nhật có \(AB = a,\,\,AD = 2a\), \(SA\) vuông góc với đáy. Góc giữa \(SB\) và đáy bằng \({60^0}\). Trên \(SA\) lấy điểm \(M\) sao cho \(AM = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\), mặt phẳng \(\left( {BCM} \right)\) giao với \(SD\) tại \(N\). Tính \({V_{SBCMN}}\)?
- A \(\dfrac{{10\sqrt 3 {a^3}}}{{27}}\)
- B \(\dfrac{{8\sqrt 3 {a^3}}}{{27}}\)
- C \(\dfrac{{10\sqrt 3 {a^3}}}{9}\)
- D \(\dfrac{{8\sqrt 3 {a^3}}}{9}\)
Lời giải chi tiết:
\(\begin{array}{l}SA = AB.\tan {60^0} = a\sqrt 3 \\ \Rightarrow {V_{S.ABCD}} = \dfrac{1}{3}SA.{S_{ABCD}} = \dfrac{1}{3}a\sqrt 3 .a.2a = \dfrac{{2{a^3}\sqrt 3 }}{3}\\\dfrac{{AM}}{{SA}} = \dfrac{1}{3} \Rightarrow \dfrac{{SM}}{{SA}} = \dfrac{2}{3}\end{array}\)
Áp dụng định lí Simson ta có: \(\dfrac{{{V_{S.MBC}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \dfrac{{SM}}{{SA}}.\dfrac{{SB}}{{SC}}.\dfrac{{SC}}{{SC}} = \dfrac{2}{3}\).
Ta có \(N \in \left( {MBC} \right)\) mà \(BC\parallel AD \Rightarrow MN\parallel AD\) \( \Rightarrow \dfrac{{SN}}{{SD}} = \dfrac{{SM}}{{SA}} = \dfrac{2}{3}\).
\(\begin{array}{l}\dfrac{{{V_{S.MBC}}}}{{{V_{S.ADC}}}} = \dfrac{{SM}}{{SA}}.\dfrac{{SN}}{{SD}}.\dfrac{{SC}}{{SC}} = \dfrac{4}{9}\\ \Rightarrow {V_{S.BCNM}} = {V_{S.MBC}} + {V_{S.MNC}} = \dfrac{{2{V_{S.ABC}}}}{3} + \dfrac{{4{V_{S.ADC}}}}{9}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{{V_{S.ABCD}}}}{3} + \dfrac{{2{V_{S.ABCD}}}}{9} = \dfrac{{5{V_{S.ABCD}}}}{9} = \dfrac{{10\sqrt 3 {a^3}}}{{27}}\end{array}\)
Chọn A
Câu hỏi trước
