Câu hỏi
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình chữ nhật với cạnh \(AB = 2a,\,\,AD = a\). Hình chiếu của \(S\) lên mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) là trung điểm \(H\) của \(AB,\,\,SC\) tạo với đáy một góc bằng \({45^0}\). Khoảng cách từ điểm \(A\) tới mặt phẳng \(\left( {SCD} \right)\).
- A \(\dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\)
- B \(\dfrac{{a\sqrt 6 }}{4}\)
- C \(\dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}\)
- D \(\dfrac{{a\sqrt 3 }}{6}\)
Lời giải chi tiết:
+ \(\widehat {\left( {SC;\left( {ABCD} \right)} \right)} = \widehat {\left( {SC;HC} \right)} = \widehat {SCH} = {45^0}\).
+ Tam giác \(SHC\) vuông cân tại \(H \Rightarrow SH = HC = \sqrt {B{C^2} + B{H^2}} = \sqrt {{a^2} + {a^2}} = a\sqrt 2 \).
+ \(HD = \sqrt {A{D^2} + A{H^2}} = \sqrt {{a^2} + {a^2}} = a\sqrt 2 \)
\( \Rightarrow \Delta SHD\) vuông cân tại \(H \Rightarrow SD = a\sqrt 2 .\sqrt 2 = 2a\), \(\Delta SHC\) vuông cân tại \(H \Rightarrow SC = a\sqrt 2 .\sqrt 2 = 2a\).
\( \Rightarrow \Delta SCD\) đều cạnh \(2a \Rightarrow {S_{\Delta SCD}} = \dfrac{{{{\left( {2a} \right)}^2}\sqrt 3 }}{4} = {a^2}\sqrt 3 \).
+ \({V_{S.ACD}} = \dfrac{1}{3}SH.\dfrac{1}{2}AD.CD = \dfrac{1}{3}.a\sqrt 2 .\dfrac{1}{2}.2a.a = \dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{3}\).
+ \(d\left( {A;\left( {SCD} \right)} \right) = \dfrac{{3{V_{S.ACD}}}}{{{S_{\Delta SCD}}}} = \dfrac{{3.\dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{3}}}{{{a^2}\sqrt 3 }} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{6}\).
Chọn C
Câu hỏi trước
