Lời giải chi tiết:

+ Xét hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\). Gọi \(O = AC \cap BD \Rightarrow SO \bot \left( {ABCD} \right)\) và \(SO = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

+ Xét \(\Delta BDC\):

   Gọi \(N\) là trung điểm của \(CD,\,\,O\) là trung điểm của \(BD\).

\( \Rightarrow ON\) là đường trung bình của tam giác \(BCD \Rightarrow ON = \dfrac{1}{2}BD = \dfrac{a}{2}\).

+ Xét tam giác vuông \(SON\) có: \(\tan \widehat {SNO} = \dfrac{{SO}}{{ON}} = \dfrac{{\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}a}}{{\dfrac{a}{2}}} = \sqrt 3  \Rightarrow \widehat {SNO} = {60^0}\).

 + Góc giữa mặt bên \(\left( {SCD} \right)\) và \(\left( {ABCD} \right)\): \(\left\{ \begin{array}{l}N\,\,chung\\SO \bot \left( {ABCD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \widehat {\left( {\left( {SCD} \right);\left( {ABCD} \right)} \right)} = \widehat {SNO} = {60^0}\).

Chọn C