Lời giải chi tiết:

Gọi \(D\) là trung điểm của \(BC\), \(H\) là trọng tâm tam giác \(ABC\).

Có chóp \(S.ABC\) là chóp tứ giác đều \( \Rightarrow SH \bot \left( {ABC} \right)\).

\(AD\) là đường trung tuyến \(\Delta ABC\) đều

\( \Rightarrow AD = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow AH = \dfrac{2}{3}AD = \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}\).

Xét tam giác \(SAH\) vuông tại \(H:\,\,S{H^2} + A{H^2} = S{A^2}\).

\( \Rightarrow S{H^2} = S{A^2} - A{H^2} = 1 - \dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{3} \Rightarrow SH = \dfrac{{\sqrt 6 }}{3}\).

Tam giác \(ABC\) đều cạnh \(a \Rightarrow {S_{\Delta ABC}} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{4}\)

Vậy \({V_{S.ABC}} = \dfrac{1}{3}SH.{S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{\sqrt 6 }}{3}.\dfrac{{\sqrt 3 }}{4} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{{12}}\).

Chọn A