Lời giải chi tiết:

Gọi \(H\) là trọng tâm \(\Delta ABC\). Chóp tứ giác đều \(S.ABC\)\( \Rightarrow SH \bot \left( {ABC} \right)\).

Gọi \(D\) là trung điểm của \(BC\).

\(AD\) là đường trung tuyến \(\Delta ABC\) đều

\( \Rightarrow AD = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow AH = \dfrac{2}{3}AD = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\).

Xét tam giác \(SAH\) vuông tại \(H:\,\,S{H^2} + A{H^2} = S{A^2}\).

\( \Rightarrow S{H^2} = S{A^2} - A{H^2} = {a^2} - \dfrac{{{a^2}}}{3} = \dfrac{{2{a^2}}}{3} \Rightarrow SH = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}\).

Tam giác \(ABC\) đều cạnh \(a \Rightarrow {S_{\Delta ABC}} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\)

Vậy \({V_{S.ABC}} = \dfrac{1}{3}SH.{S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}.\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{12}}\).

Chọn A