Câu hỏi
Cho khối chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thoi cạnh \(a\), góc \(\widehat {BAD} = {60^0}\). Cạnh bên \(SB \bot \left( {ABCD} \right)\). Cho biết khoảng cách từ \(B\) đến cạnh \(SC\) bằng \(\dfrac{a}{2}\). Thể tích khối chóp \(S.ABCD\) là:
- A \({a^3}\sqrt 3 \)
- B \(\dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{12}}\)
- C \(\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6}\)
- D \(\dfrac{{{a^3}}}{6}\)
Lời giải chi tiết:
Kẻ \(BH \bot SC\). Khoảng cách từ \(B\) đến \(SC\) là \(BH = \dfrac{a}{2}\).
Xét tam giác vuông \(SBC\) có: \(\dfrac{1}{{B{H^2}}} = \dfrac{1}{{S{B^2}}} + \dfrac{1}{{B{C^2}}}\)
\( \Leftrightarrow \dfrac{1}{{S{B^2}}} = \dfrac{1}{{B{H^2}}} - \dfrac{1}{{B{C^2}}} = \dfrac{4}{{{a^2}}} - \dfrac{1}{{{a^2}}} = \dfrac{3}{{{a^2}}} \Rightarrow SB = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\).
Gọi \(AC \cap BD = O\).
Xét \(\Delta ABD\) có: \(\left\{ \begin{array}{l}AB = AD = a\\\widehat {BAD} = {60^0}\end{array} \right. \Rightarrow \Delta ABD\) đều \( \Rightarrow BD = a\).
\(\Delta ABD\) đều \( \Rightarrow AO = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow AC = 2AO = a\sqrt 3 \).
\({V_{S.ABCD}} = \dfrac{1}{3}{S_{ABCD}}.SB = \dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{2}BD.AC.SB = \dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{2}.a.a\sqrt 3 .\dfrac{{a\sqrt 3 }}{3} = \dfrac{{{a^3}}}{6}\).
Chọn D
Câu hỏi trước
