Lời giải chi tiết:

+ Góc giữa \(SC\) và mặt đáy là góc \(\widehat {SCA} \Rightarrow \widehat {SCA} = {45^0}\).

+ \(SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot AC \Rightarrow \Delta SAC\) vuông tại \(A\).

\( \Rightarrow \Delta SAC\) vuông cân tại \(A \Rightarrow SA = AC\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow S{A^2} + A{C^2} = S{C^2} \Leftrightarrow 2S{A^2} = S{C^2} \Leftrightarrow 2S{A^2} = {\left( {2\sqrt 2 a} \right)^2}\\ \Rightarrow SA = AC = 2a\end{array}\).

+ Vì \(ABCD\) là hình vuông \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}AB = BC\\AB \bot BC\end{array} \right.\).

+ Xét tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\) ta có :

\(\begin{array}{l}A{B^2} + B{C^2} = A{C^2} \Leftrightarrow 2A{B^2} = A{C^2} = 4{a^2}\\ \Rightarrow AB = a\sqrt 2  = BC\end{array}\)

\( \Rightarrow {S_{ABCD}} = AB.BC = a\sqrt 2 .a\sqrt 2  = 2{a^2}\).

Vậy \({V_{S.ABCD}} = \dfrac{1}{3}SA.{S_{ABCD}} = \dfrac{1}{3}.2a.2{a^2} = \dfrac{{4{a^3}}}{3}\).

Chọn C