Câu hỏi
Một ngọn hải đăng đặt ở vị trí A cách bờ 5 km, trên bờ biển có một kho hàng ở vị trí C cách B một khoảng 7 km. Người canh hải đăng có thể chèo thuyền từ A đến M trên bờ biển với vận tốc 4 km/h rồi đi bộ từ M đến C với vận tốc 6 km/h. Xác định độ dài đoạn B để người đó đi từ A đến C nhanh nhất.
- A \(\dfrac{7}{2}km.\)
- B \(2\sqrt 5 \,{\rm{km}}.\)
- C \(3\sqrt 2 \,km.\)
- D \(\dfrac{7}{3}\,km.\)
Phương pháp giải:
Đặt BM = x.
Tìm hàm thời gian người đó đi từ A qua M đến C.
Thay lần lượt các đáp án và rút ra kết luận GTNN của hàm thời gian vừa lập được.
Lời giải chi tiết:
Đặt BM = x \(\left( 0 Khi đó \(AM=\sqrt{25+{{x}^{2}}},MC=7-x\) (km). Thời gian người đó đi từ A qua M đến C là \(f\left( x \right)=\frac{\sqrt{25+{{x}^{2}}}}{4}+\frac{7-x}{6}\) (giờ). Ta cần tìm GTNN của hàm số \(y=f\left( x \right)\). \(f'(x) = \frac{x}{{4\sqrt {25 + {x^2}} }} - \frac{1}{6} = 0 \Leftrightarrow 6x = 4\sqrt {25 + {x^2}} \) \( \Leftrightarrow 20{x^2} = 400 \Leftrightarrow {x^2} = 20 \Leftrightarrow x = 2\sqrt 5 \). Bảng biến thiên: Vậy \(BM = 2\sqrt 5 \) km thì người đó đến kho nhanh nhất.