Lời giải chi tiết:

+ Gọi đường thẳng đi qua \(M\left( {1;2} \right)\) có dạng: \(y = k\left( {x - 1} \right) + 2\)

+ Đường thẳng đi qua M và tiếp xúc đồ thị \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^3} - 2{x^2} + (m - 1)x + 2m = k(x - 1) + 2\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\3{x^2} - 4x + m - 1 = k\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

Thay \((2)\) vào \((1)\):

\(\begin{array}{l}{x^3} - 2{x^2} + \left( {m - 1} \right)x + 2m = \left( {3{x^2} - 4x + m - 1} \right)\left( {x - 1} \right) + 2\\ \Leftrightarrow {x^3} - 2{x^2} + \left( {m - 1} \right)x + 2m = 3{x^3} - 4{x^2} + \left( {m - 1} \right)x - 3{x^2} + 4x - m + 3\\ \Leftrightarrow  - 2{x^3} + 5{x^2} - 4x + 3m - 3 = 0 \Leftrightarrow 3m = 2{x^3} - 5{x^2} + 4x + 3\,\,\,\,\,\,\,(*)\end{array}\)

+ Để kẻ được đúng 2 tiếp tuyến \( \Rightarrow \) Phương trình (*) phải có 2 nghiệm.

Đặt\(f(x) = 2{x^3} - 5{x^2} + 4x + 3\)

\(f'(x) = 6{x^2} - 10x + 4 = 0 \leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1,y = 4\\x = \dfrac{2}{3},y = \dfrac{{109}}{{27}}\end{array} \right.\)

BBT:

+ Phương trình (*) có 2 nghiệm khi đường thẳng \(y = 3m\) cắt \(y = f(x)\) tại 2 điểm phân biệt

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3m = 4\\3m = \dfrac{{109}}{{27}}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = \dfrac{4}{3}\\m = \dfrac{{109}}{{81}}\end{array} \right. \Rightarrow \)Tổng \(\dfrac{4}{3} + \dfrac{{109}}{{81}} = \dfrac{{217}}{{81}}.\)

Chọn D