Lời giải chi tiết:

Gọi phương trình đường thẳng qua \(A\left( {m;2} \right)\) là \(y = k\left( {x - m} \right) + 2.\)

Đường thẳng qua A tiếp xúc đồ thị  \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} - {x^3} + 3{x^2} - 2 = k\left( {x - m} \right) + 2\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\ - 3{x^2} + 6x = k\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

Thế \((2)\) vào \((1)\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow  - {x^3} + 3{x^2} - 2 = ( - 3{x^2} + 6x)(x - m) + 2\\ \Leftrightarrow  - {x^3} + 3{x^2} - 2 =  - 3{x^3} + 6{x^2} + 3m{x^2} - 6mx + 2\\ \Leftrightarrow 2{x^3} - 3{x^2} - 3m{x^2} + 6mx - 4 = 0\\ \Leftrightarrow 2{x^3} - 3{{\rm{x}}^2} + m\left( {6x - 3{{\rm{x}}^2}} \right) - 4 = 0\\ \Leftrightarrow m\left( {6x - 3{{\rm{x}}^2}} \right) =  - 2{x^3} + 3{x^2} + 4\\ \Leftrightarrow m = \dfrac{{ - 2{x^3} + 3{x^2} + 4}}{{6x - 3{{\rm{x}}^2}}}\\ \Leftrightarrow m = \dfrac{{\left( {x - 2} \right)\left( { - 2{x^2} - x - 2} \right)}}{{ - 3x\left( {x - 2} \right)}}\\ \Leftrightarrow m = \dfrac{{2{x^2} + x + 2}}{{3x}}\,\,\,\,\,\,\left( * \right)\end{array}\)

Để có 2 tiếp tuyến \( \Rightarrow \) Phương trình \((*)\) có 2 nghiệm

+ Đặt \(f\left( x \right) = \dfrac{{2{x^2} + x + 2}}{{3x}}\)  \(DK:x \ne 0\)

\(\begin{array}{l}f'\left( x \right) = \dfrac{{\left( {4x + 1} \right).3x - 3\left( {2{x^2} + x + 2} \right)}}{{9{x^2}}}\\f'\left( x \right) = \dfrac{{12{x^2} + 3x - 6{x^2} - 3x - 6}}{{9{x^2}}}\\f'\left( x \right) = \dfrac{{6{x^2} - 6}}{{9{x^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 1\,\,\,\,\left( {tm} \right)\,\,\,\\x = 1\,\,\,\,\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

BBT:

Vậy PT (*) có 2 nghiệm \( \Rightarrow \) Đường thẳng \(y = m\) phải cắt đồ thị tại 2 điểm.

\( \Rightarrow m <  - 1\) hoặc \(m > \dfrac{5}{3}\).

\( \Rightarrow S = ( - \infty ; - 1) \cup \left( {\dfrac{5}{3}; + \infty } \right).\)

Chọn D.