Lời giải chi tiết:

Ta có: \(y' = \frac{{ - 1}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\)

Tiếp tuyến tại \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) có dạng

\(y = y'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0} = \frac{{ - 1}}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}}\left( {x - {x_0}} \right) + \frac{1}{{{x_0} - 1}}\)

Gọi giao điểm của tiếp tuyến với 2 trục toạ độ là \(A,\,\,B\).

- Toạ độ A là nghiệm của hệ:

\(\left\{ \begin{array}{l}y = \frac{{ - 1}}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}}\left( {x - {x_0}} \right) + \frac{1}{{{x_0} - 1}}\\x = 0\end{array} \right. \Rightarrow A\left( {0;\frac{{{x_0}}}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{x_0} - 1}}} \right)\)

- Toạ độ B là nghiệm của hệ:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}y = \frac{{ - 1}}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}}\left( {x - {x_0}} \right) + \frac{1}{{{x_0} - 1}}\\y = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \frac{{ - 1}}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}}x + \frac{{{x_0}}}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{x_0} - 1}} = 0\\ \Leftrightarrow x = \left( {\frac{{{x_0}}}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{x_0} - 1}}} \right){\left( {{x_0} - 1} \right)^2} \Rightarrow B\left( {\left( {\frac{{{x_0}}}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{x_0} - 1}}} \right)\left( {{x_0} - 1} \right);0} \right)\end{array}\)

\(\begin{array}{l}{S_{\Delta OAB}} = 2 \Rightarrow \frac{1}{2}OA.OB = 2 \Leftrightarrow OA.OB = 4\\ \Leftrightarrow \left| {\frac{{{x_0}}}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{x_0} - 1}}} \right|.\left| {\left( {\frac{{{x_0}}}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{x_0} - 1}}} \right){{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}} \right| = 4\\ \Leftrightarrow {\left( {\frac{{{x_0}}}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{x_0} - 1}}} \right)^2}.{\left( {{x_0} - 1} \right)^2} = 4 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{3}{4}\\y =  - 4\end{array} \right. \Rightarrow M\left( {\frac{3}{4}; - 4} \right)\end{array}\)

Chọn D.