Lời giải chi tiết:

\(y = \frac{{{x^3}}}{3} - 2{x^2} + 3x + 1 \Rightarrow y' = {x^2} - 4x + 3\)

Tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) song song với đường thẳng: \(y = 3x + 1 \Rightarrow y'\left( {{x_0}} \right) = 3\)

\( \Leftrightarrow x_0^2 - 4{x_0} + 3 = 3 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} = 0 \Rightarrow {y_0} = 1\\{x_0} = 4 \Rightarrow {y_0} = \frac{7}{3}\end{array} \right.\)

Phương trình tiếp tuyến của \((C):\)

Với tiếp điểm là \(\left( {0;1} \right)\) \( \Rightarrow y = 3\left( {x - 0} \right) + 1 \Leftrightarrow y = 3x + 1\) (Loại vì trùng với đường thẳng \(y = 3x + 1\))

Với tiếp điểm là \(\left( {4;\frac{7}{3}} \right)\) \( \Rightarrow y = 3\left( {x - 4} \right) + \frac{7}{3} \Leftrightarrow y = 3x - \frac{{29}}{3}.\)

Chọn C.