Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l} \Rightarrow y' = \dfrac{{\left( {mx} \right)'\left( {{x^2} + 1} \right) - \left( {mx} \right)\left( {{x^2} + 1} \right)'}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}} = \dfrac{{m{x^2} + m - \left( {mx} \right)\left( {2x} \right)}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}}\\   = \dfrac{{m{x^2} + m - 2m{x^2}}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}} = \dfrac{{ - m{x^2} + m}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}}\end{array}\)

TH1: \(m = 0 \Rightarrow y = 0\) (loại)

TH2: \(m \ne 0\)

Ta có: \(y' = 0 \Rightarrow  - m{x^2} + m = 0 \Leftrightarrow m\left( {1 - {x^2}} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x =  - 1\end{array} \right..\)

Thay \(x =  - 2 \Rightarrow y\left( { - 2} \right) = \frac{{ - 2m}}{5}\)

Thay \(x =  - 1 \Rightarrow y\left( { - 1} \right) = \frac{{ - m}}{2}\)

Thay \(x = 2 \Rightarrow y\left( 2 \right) = \frac{{2m}}{5}\)

Thay \(x = 1 \Rightarrow y\left( 1 \right) = \frac{m}{2}\)

\( \Rightarrow \) Để hàm số đạt giá trị lớn nhất tại \(x = 1\) thì \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{m}{2} > \frac{{ - m}}{2}\\\frac{m}{2} > \frac{{2m}}{5}\end{array} \right. \Leftrightarrow m > 0.\)

 Chọn B.