Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}y = \dfrac{1}{4}{x^4} + mx - \dfrac{3}{{2x}}\\ \Rightarrow y' = {x^3} + m - \dfrac{3}{2}.\dfrac{{ - 1}}{{{x^2}}} = {x^3} + m + \dfrac{3}{{2{x^2}}}\end{array}\)

Để hàm số đồng biến .

\( \Leftrightarrow {x^3} + m + \dfrac{3}{{2{x^2}}} \ge 0 \Leftrightarrow m \ge  - {x^3} - \dfrac{3}{{2{x^2}}} \Leftrightarrow m \ge \mathop {\max }\limits_{(0; + \infty )} \left( { - {x^3} - \dfrac{3}{{2{x^2}}}} \right)\)

Dùng máy tính cầm tay, chức năng TABLE (Mode + 7)

Nhập \(\left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right) =  - {x^3} - \dfrac{3}{{2{x^2}}}\\g(x):bo\,\,qua\\Start:0\\End:5\\Step\dfrac{5}{{19}}\end{array} \right.\) \( \Rightarrow Max =  - 2,52\)

Theo đánh giá trên \(m \ge Max \Rightarrow m \ge  - 2,52\)

+ Mà \(m\) là số nguyên âm \( \Rightarrow m = \left\{ { - 1; - 2} \right\}{\rm{.}}\)

Chọn A.

Cách 2:

Xét hàm số \(y = \frac{1}{4}{x^4} + mx - \frac{3}{{2x}}\) trên \(\left( {0; + \infty } \right)\) ta có: \(y' = {x^3} + m + \frac{3}{{2{x^2}}}\)

Hàm số đã cho đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\) \( \Leftrightarrow y' \ge 0\,\,\forall x \in \left( {0; + \infty } \right)\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {x^3} + m + \frac{3}{{2{x^2}}} \ge 0\,\,\,\forall x \in \left( {0; + \infty } \right)\\ \Leftrightarrow m \ge  - \left( {{x^3} + \frac{3}{{2{x^2}}}} \right)\,\,\,\forall x \in \left( {0; + \infty } \right)\\ \Leftrightarrow m \ge \mathop {\max }\limits_{\left( {0; + \infty } \right)} \left[ { - \left( {{x^3} + \frac{3}{{2{x^2}}}} \right)} \right]\end{array}\)

Xét hàm số \(y =  - {x^3} - \frac{3}{{2{x^2}}}\) trên \(\left( {0; + \infty } \right)\) ta có:

\(y' =  - 3{x^2} + \frac{3}{{{x^3}}}\) \( \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow  - 3{x^2} + \frac{3}{{{x^3}}} = 0\)

\( \Leftrightarrow  - {x^5} + 1 = 0 \Leftrightarrow x = 1\)

Ta có BBT:

\( \Rightarrow \mathop {\max }\limits_{\left( {0; + \infty } \right)} \left( { - {x^3} - \frac{3}{{2{x^2}}}} \right) =  - \frac{5}{2}\) \( \Rightarrow m \ge  - \frac{5}{2}\)

Lại có \(m \in {\mathbb{Z}^ - } \Rightarrow m \in \left\{ { - 2; - 1} \right\}.\)

Chọn A.