Lời giải chi tiết:

\(y = \sin x + \cos x + mx \Rightarrow y' = \cos x - \sin x + m\)

Hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\,\, \Leftrightarrow y' \ge 0\,\,\forall x \in \mathbb{R}\)

\( \Leftrightarrow \cos x - \sin x + m \ge 0 \Leftrightarrow m \ge \sin x - \cos x \Rightarrow m \ge \max \left( {\sin x - \cos x} \right)\)

+ B1: Chuyển máy về Độ bấm: Shift + Mode + 3

+ B2: Tăng TABLE lên 40 dòng bấm: Shift + Mode  + \(\downarrow \) + 5 + 1:\(f\left( x \right)\)

+ B3: Dùng máy tính cầm tay, chức năng TABLE (Mode + 7)

Nhập \(\left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right) = \sin x - \cos x\\Start:0\\End:360\\Step:15\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \) \( \Rightarrow Max = 1,4142 = \sqrt 2 \)

Mà theo đánh giá trên \(m \ge Max \Rightarrow m \ge \sqrt 2 \).

Chọn D.

Cách 2:

\(y = \sin x + \cos x + mx\)

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\)

Ta có: \(y' = \cos x - \sin x + m\)

Hàm số đã cho ĐB trên \(\mathbb{R}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow y' \ge 0\,\,\forall x \in \mathbb{R}\\ \Leftrightarrow \cos x - \sin x + m \ge 0\\ \Leftrightarrow m \ge \sin x - \cos x\\ \Leftrightarrow m \ge \sqrt 2 \sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right)\,\,\left( * \right)\end{array}\)

Vì \( - 1 \le \sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) \le 1\) \( \Rightarrow  - \sqrt 2  \le \sqrt 2 \sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) \le \sqrt 2 \)

\( \Rightarrow \left( * \right) \Leftrightarrow m \ge \sqrt 2 \)

Chọn D.