Lời giải chi tiết:

Xét \(y' = 0 \Leftrightarrow  - 3{x^2} + 2\left( {m + 1} \right)x = 0\)  

Để hàm số đồng biến trên đoạn có độ dài bằng 3.

\( \Leftrightarrow \)Phương trình \(y' = 0\) có 2 nghiệm \({x_1},\,\,{x_2}\) thoả mãn: \(\left\{ \begin{array}{l}\Delta  > 0\\\left| {{x_2} - {x_1}} \right| = 3\end{array} \right.\).

+ \(\Delta  = 4{\left( {m + 1} \right)^2} > 0\,\,\,\forall m \ne  - 1\)

+ Ta có: \(\left| {{x_2} - {x_1}} \right| = 3 \Leftrightarrow {\left( {{x_2} - {x_1}} \right)^2} = 9\)

\( \Leftrightarrow {x_1}^2 + 2{x_1}{x_2} + {x_2}^2 - 4{x_1}{x_2} = 9 \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2} = 9{\rm{ }}\left( 1 \right)\)

Theo định lý Vi-ét: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \dfrac{{ - b}}{a} = \dfrac{{2\left( {m + 1} \right)}}{3}\\{x_1}{x_2} = \dfrac{c}{a} = 0\end{array} \right.\)

Có: \({\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2} = 9 \Leftrightarrow \dfrac{{4{{\left( {m + 1} \right)}^2}}}{9} = 9\).

\( \Leftrightarrow {m^2} + 2m + 1 = {{81} \over 4} \Leftrightarrow {m^2} + 2m - {{77} \over 4} = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
m = {7 \over 2} \hfill \cr
m = {{ - 11} \over 2} \hfill \cr} \right.\)

Chọn C.