Lời giải chi tiết:

\(\begin{align} y=\dfrac{{{x}^{3}}}{3}+\left( m+2 \right){{x}^{2}}+\left( 2m+3 \right)x+1 \\  \Rightarrow y'={{x}^{2}}+2\left( m+2 \right)x+2m+3 \\  \Rightarrow y'={{x}^{2}}+4x+3+2.\left( x+1 \right)m \\ \end{align}\)

Để hàm số nghịch biến trên \(\left[ 0;3 \right]\Leftrightarrow y'\le 0\,\,\forall x\in \left[ 0;3 \right]\).

\(\Leftrightarrow m\le \dfrac{-\left( {{x}^{2}}+4x+3 \right)}{2\left( x+1 \right)}\,\Leftrightarrow m\le \underset{\left[ 0;3 \right]}{\mathop{\min }}\,\left( \dfrac{-\left( {{x}^{2}}+4x+3 \right)}{2\left( x+1 \right)} \right)\)

Dùng máy tính cầm tay, chức năng TABLE (Mode + 7)

Nhập \(\left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right) = \dfrac{{ - ({x^2} + 4x + 3)}}{{2(x + 1)}}\\g(x):bo\,\,qua\\Start:0\\End:3\\Step\dfrac{3}{{19}}\end{array} \right.\)\( \Rightarrow Min =  - 3\)

Mà theo đánh giá trên \(m \le Min \Rightarrow m \le  - 3\). Giá trị nguyên lớn nhất là \(m =  - 3\).

Chọn B.