Lời giải chi tiết:

+ Ta có: \(y = x + \dfrac{1}{{x + m}} \Rightarrow y' = 1 - \dfrac{1}{{{{\left( {x + m} \right)}^2}}} \Rightarrow y'' = \dfrac{2}{{{{\left( {x + m} \right)}^3}}}\)

+ Để hàm số đạt cực đại tại \(x = 2 \Rightarrow y'\left( 2 \right) = 0 \Leftrightarrow 1 - \dfrac{1}{{{{\left( {2 + m} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m =  - 1\\m =  - 3\end{array} \right.\)

+ Với \(m =  - 1 \Rightarrow y''\left( 2 \right) = \dfrac{2}{{{{\left( {2 - 1} \right)}^3}}} = 2 > 0 \Rightarrow x = 2\) là cực tiểu (Loại)

+ Với \(m =  - 3 \Rightarrow y''\left( 2 \right) = \dfrac{2}{{{{\left( {2 - 3} \right)}^3}}} =  - 2 < 0 \Rightarrow x = 2\) là cực đại (tm).

Chọn B.