Phương pháp giải:

B1: Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên \(\left[ { - 1;1} \right]\)

B2: Thay vào biểu thức \({y_1} - {y_2} = 8\) để tìm được giá trị của m cần tìm.

Lời giải chi tiết:

Đặt \(y = f\left( x \right) = {x^2} - 2\left( {m + \frac{1}{m}} \right)x + m\,\,\,\left( {m > 0} \right)\)

Hoành độ đỉnh của đồ thị hàm số là \(x = m + \frac{1}{m} \ge 2\) (theo bất đẳng thức Côsi)

Vì hệ số \(a = 1 > 0\) nên hàm số nghịch biến trên \(\left( { - \infty ;\,\,\,m + \frac{1}{m}} \right) \Rightarrow \)hàm số nghịch biến trên \(\left[ { - 1;1} \right]\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{y_1} = f\left( { - 1} \right) = 3m + \frac{2}{m} + 1\\{y_2} = f\left( 1 \right) = 1 - m - \frac{2}{m}\end{array} \right..\)

Theo đề bài ra ta có: \({y_1} - {y_2} = 8 \Leftrightarrow 3m + \frac{2}{m} + 1 - 1 + m + \frac{2}{m} = 8\,\,\,\left( {m > 0} \right)\)

\( \Leftrightarrow {m^2} - 2m + 1 = 0 \Leftrightarrow m = 1\,\,\,\,\left( {tm} \right).\)

Chọn  B.