Phương pháp giải:

+) Số nghiệm của phương trình \(f\left( x \right) = g\left( x \right)\) là số giao điểm của hai đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) và \(y = g\left( x \right).\)

+) Phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\) có hai nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a \ne 0}\\{\Delta  = {b^2} - 4ac > 0}\end{array}} \right.\)

Lời giải chi tiết:

Phương trình hoành độ giao điểm của \(\left( P \right)\) và \(d\) là :

\(\begin{array}{l}{x^2} - 4x + 3 = mx + 3 \Leftrightarrow x\left[ {x - \left( {m + 4} \right)} \right] = 0\,\,\,\,\left( * \right)\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x - \left( {m + 4} \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0}\\{x = m + 4}\end{array}} \right.\end{array}\) 

\( \Rightarrow d\) cắt \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt \(A,B\,\, \Leftrightarrow \,\left( * \right)\) có hai nghiệm phân biệt

\( \Leftrightarrow 4 + m \ne 0 \Leftrightarrow m \ne  - 4.\)

+) Với \(x = 0 \Rightarrow y = 3 \Rightarrow A\left( {0;\,\,3} \right) \Rightarrow A \in Oy.\)

+) Với \(x = m + 4 \Rightarrow y = {m^2} + 4m + 3 \Rightarrow B\left( {m + 4;\,\,{m^2} + 4m + 3} \right).\)

Gọi \(H\)  là hình chiếu của \(B\) lên \(OA\) \((H\) là hình chiếu của \(B\) trên \(Oy).\)

\( \Rightarrow H\left( {0;\,\,{m^2} + 4m + 3} \right) \Rightarrow BH = \left| {{x_B}} \right| = \left| {4 + m} \right|.\) 

Theo giả thiết bài toán, ta có:

\({S_{\Delta OAB}} = \frac{9}{2} \Leftrightarrow \frac{1}{2}.OA.BH = \frac{9}{2} \Leftrightarrow \frac{1}{2}.3.\left| {m + 4} \right| = \frac{9}{2} \Leftrightarrow \left| {m + 4} \right| = 3 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m =  - 1\,\,\,\,\,\,\left( {tm} \right)}\\{m =  - 7\,\,\,\,\left( {tm} \right)}\end{array}} \right..\)

Chọn  D.