Phương pháp giải:

Toạ độ đỉnh của parabol \(\left( P \right):y = a{x^2} + bx + c\,\,\,\,\left( {a \ne 0} \right)\) là  \(\left( { - \frac{b}{{2a}}; - \frac{\Delta }{{4a}}} \right).\)

\(\left( P \right)\) đi qua điểm  \(A\left( {{x_0};{y_0}} \right) \Leftrightarrow {y_0} = a{x_0}^2 + b{x_0} + c.\)

Lời giải chi tiết:

Vì \(\left( P \right)\) đi qua điểm \(M\left( { - 1;6} \right)\) và có tung độ đỉnh bằng \( - \frac{1}{4}\) nên ta có hệ phương trình:

\(\begin{array}{l}\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a - b + 2 = 6}\\{ - \frac{\Delta }{{4a}} =  - \frac{1}{4}}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a - b = 4}\\{{b^2} - 4ac = a}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 4 + b}\\{{b^2} - 8\left( {4 + b} \right) = 4 + b}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 4 + b}\\{{b^2} - 9b - 36 = 0}\end{array}} \right.} \right.} \right.} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 4 + b\\\left[ \begin{array}{l}b = 12\\b =  - 3\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 16}\\{b = 12}\end{array}\,\,\,\,\left( {tm{\rm{ }}a > 1} \right)} \right.\\\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 1}\\{b =  - 3}\end{array}\,\,\,\,\,\left( {ktm} \right)} \right.\end{array} \right. \Rightarrow P = ab = 16.12 = 192.\end{array}\)

Chọn  D.