Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tính diện tích tam giác: \(S = pr\) với \(p\) là nửa chu vi của \(\Delta \) và \(r\) là bán kính đường tròn nội tiếp \(\Delta .\)

Lời giải chi tiết:

\(B = d \cap BC \Rightarrow \) Tọa độ điểm \(B\) là nghiệm của hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}y = 2\\\sqrt 3 x - y + 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 2\end{array} \right. \Rightarrow B\left( {0;\,\,2} \right).\)

Giả sử \(\left\{ \begin{array}{l}A\left( {a;\,\,\,2} \right) \in d\,\,\,\,\,\left( {a \ne 2} \right)\\C\left( {c;\,\,2 + c\sqrt 3 } \right) \in BC\,\,\,\,\,\left( {c \ne 0} \right)\end{array} \right..\)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AB}  = \left( { - a;0} \right)\\\overrightarrow {AC}  = \left( {c - a;c\sqrt 3 } \right)\\\overrightarrow {BC}  = \left( {c;c\sqrt 3 } \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}AB = \left| a \right|\\AC = \sqrt {{{\left( {c - a} \right)}^2} + 3{c^2}} \\BC = 2\left| c \right|\end{array} \right.\)

\(\Delta ABC\) vuông tại \(A\)  và bán  kính đường tròn nội tiếp \(\Delta ABC\) là \(r = \sqrt 3 \)\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  = 0}\\{S = p{\rm{r}}}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  = 0}\\{\frac{1}{2}AB.AC = \frac{{AB + BC + AC}}{2}.\sqrt 3 }\end{array}} \right.} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - a\left( {c - a} \right) = 0}\\{\left| a \right|\sqrt {{{\left( {c - a} \right)}^2} + 3{c^2}}  = \left( {\left| a \right| + 2\left| c \right| + \sqrt {{{\left( {c - a} \right)}^2} + 3{c^2}} } \right)\sqrt 3 }\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{c = a \ne 0}\\{\left| a \right| = 3 + \sqrt 3 }\end{array}} \right.} \right.\\ \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{c = a = 3 + \sqrt 3 }\\{c = a =  - 3 - \sqrt 3 }\end{array}} \right. \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{A\left( {3 + \sqrt 3 ;2} \right),C\left( {3 + \sqrt 3 ;5 + 3\sqrt 3 } \right)}\\{A\left( { - 3 - \sqrt 3 ;2} \right),C\left( { - 3 - \sqrt 3 ; - 1 - 3\sqrt 3 } \right)\,\,\,\,\,\left( {loai{\rm{ vi }}{x_A} \ge 0} \right)}\end{array}} \right.\end{array}\)

Chọn  B