Phương pháp giải:

Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác là giao của ba đường trung trực trong tam giác.

Lời giải chi tiết:

Gọi \(G\)  là trọng tâm \(\Delta ABC\)  nên ta có \(\overrightarrow {GH}  =  - 2\overrightarrow {GI}  \Rightarrow G\left( {\frac{4}{3};2} \right)\)

Mặt khác, vì \(\overrightarrow {GA}  =  - 2\overrightarrow {GM} \) nên \(A\left( { - 1;1} \right).\)

Phương trình \(BC:\,\,3x + y - 10 = 0.\)  

Đường tròn \(\left( C \right)\) ngoại tiếp tam giác ABC có tâm \(I\left( {1;2} \right),\)bán kính \({\rm{R = }}\sqrt {4 + 1}  = \sqrt 5 .\)

Do đó \(\left( C \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 5\)

Khi đó toạ độ \(B,\,\,C\)  là nghiệm của hệ phương trình:\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\left( {x - 1} \right)}^2} + {{\left( {y - 2} \right)}^2} = 5}\\{3{\rm{x}} + y - 10 = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2}\\{y = 4}\end{array}} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 3}\\{y = 1}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.} \right.\)

Vì \({x_B} > {x_C} \Rightarrow B\left( {3;1} \right),C\left( {2;4} \right)\)

Chọn  D