Phương pháp giải:

\(\Delta ABC\) vuông tại \(A \Rightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  = 0.\)

\(B,\,\,C\) đối xứng với nhau qua gốc tọa độ \(O \Rightarrow O\) là trung điểm của \(BC.\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(B \in d:\,\,x + 2y - 5 = 0 \Rightarrow B\left( {5 - 2b;\,\,b} \right).\)  

Lại có: \(B,\,\,C\) đối xứng với nhau qua gốc tọa độ \(O \Rightarrow O\) là trung điểm của \(BC.\)

\( \Rightarrow C\left( {2b - 5;\,\, - b} \right).\)

Gọi \(I\)  là điểm đối xứng với \(O\)  qua phân giác trong của \(\angle ABC \Rightarrow I\left( {2;\,\,4} \right) \Rightarrow I \in AB.\)

\(\Delta ABC\) vuông tại \(A \Rightarrow \overrightarrow {BI}  = \left( {2b - 3;4 - b} \right)\) vuông góc với \(\overrightarrow {CK}  = \left( {11 - 2b;2 + b} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {2b - 3} \right)\left( {11 - 2b} \right) + \left( {4 - b} \right)\left( {2 + b} \right) = 0\\ \Leftrightarrow  - 5{b^2} + 30b - 25 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{b = 1}\\{b = 5}\end{array}} \right.\end{array}\)

+) \(b = 1 \Rightarrow B\left( {3;1} \right),C\left( { - 3; - 1} \right) \Rightarrow A\left( {3;1} \right)\left( {loai{\rm{ vi }}B \equiv A} \right)\)

+) \(b = 5 \Rightarrow B\left( { - 5;5} \right),C\left( {5; - 5} \right) \Rightarrow A\left( {\frac{{31}}{5};\frac{{17}}{5}} \right)\)

Chọn  D