Phương pháp giải:

Sử dụng tính chất đường phân giác trong của tam giác để làm bài toán.

Lời giải chi tiết:

 Gọi \(N\)  là điểm đối xứng với \(M\) qua \(AD.\)

\(AC\) là đường thẳng đi qua \(N\left( {1;\,\,1} \right)\) và vuông góc với \(BH:\,\,\,3x + 4y + 10 = 0\)

\( \Rightarrow AC:\,\,4\left( {x - 1} \right) - 3\left( {y - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 4x - 3y - 1 = 0.\)

 Ta có: \(AD \cap AC = \left\{ A \right\} \Rightarrow \) tọa độ điểm \(A\) là nghiệm của hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}4x - 3y - 1 = 0\\x - y + 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 4\\y = 5\end{array} \right. \Rightarrow A\left( {4;\,\,5} \right).\)

Phương trình đường thẳng \(AB\) đi qua \(A\left( {4;\,\,5} \right)\) và \(M\left( {0;\,\,2} \right)\) là:

\(\frac{{x - 4}}{{0 - 4}} = \frac{{y - 5}}{{2 - 5}} \Leftrightarrow 3x - 12 = 4y - 20 \Leftrightarrow 3x - 4y + 8 = 0.\)

Có \(BH \cap AB = \left\{ B \right\} \Rightarrow \) tọa độ điểm \(B\) là nghiệm của hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}3x - 4y + 8 = 0\\3x + 4y + 10 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 3\\y =  - \frac{1}{4}\end{array} \right. \Rightarrow B\left( { - 3;\, - \frac{1}{4}} \right).\)

Gọi \(C \in AC:\,\,\,4x - 3y - 1 = 0 \Rightarrow C\left( {c;\,\,\frac{{4c - 1}}{3}} \right)\,\,\,\,\,\left( {c \in \mathbb{Z}} \right).\)

Ta có \(MC = \sqrt 2  \Leftrightarrow M{C^2} = 2\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\left( {0 - c} \right)^2} + {\left( {2 - \frac{{4c - 1}}{3}} \right)^2} = 2 \Leftrightarrow {c^2} + {\left( {\frac{7}{3} - \frac{{4c}}{3}} \right)^2} = 2\\ \Leftrightarrow \frac{{25}}{9}{c^2} - \frac{{56}}{9}c + \frac{{31}}{9} = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}c = 1\,\,\,\left( {tm} \right)\\c = \frac{{31}}{{25}}\,\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right. \Rightarrow C\left( {1;\,\,1} \right).\end{array}\)

Kiểm tra điều kiện B, C khác phía với AD, ta có hai điểm đều thoả mãn.

Chọn  B