Phương pháp giải:

Sử dụng công thức trung điểm để làm bài toán.

Lời giải chi tiết:

Theo đề bài ta có: \(BH:\,\,\,x + y + 3 = 0 \Rightarrow \overrightarrow {{n_{BH}}}  = \left( {1;\,\,1} \right).\)

Phương trình đường thẳng \(AC\) đi qua \(M\left( {1;\,\,1} \right)\) và vuông góc với \(BH\) là:

\(AC:\,\,\,\,x - 1 - \left( {y - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow x - y = 0.\)

Khi đó ta có tọa độ điểm \(A\) là nghiệm của hệ phương trình:

 \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - 4y - 2 = 0}\\{x - y = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x =  - \frac{2}{3}}\\{y =  - \frac{2}{3}}\end{array}} \right. \Rightarrow A\left( { - \frac{2}{3}; - \frac{2}{3}} \right)} \right.\)

Vì \(M\left( {1;\,\,1} \right)\)  là trung điểm của \(AC \Rightarrow C\left( {\frac{8}{3};\,\,\frac{8}{3}} \right).\)  

Vì \(BC\)  đi qua \(C\)  và song song với \(d\) nên \(BC\) có phương trình:  \(x - \frac{8}{3} - 4\left( {y - \frac{8}{3}} \right) = 0 \Leftrightarrow x - 4y + 8 = 0.\)

\(BC \cap BH = \left\{ B \right\} \Rightarrow \) tọa độ điểm \(B\) là nghiệm của hệ phương trình:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + y + 3 = 0}\\{x - 4y + 8 = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x =  - 4}\\{y = 1}\end{array} \Rightarrow B\left( { - 4;1} \right)} \right.} \right.\)

Chọn  C