Phương pháp giải:

\(\Delta ABC\) vuông cân tại \(A \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}AB \bot AC\\AB = AC\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  = 0\\AB = AC\end{array} \right..\)  

Lời giải chi tiết:

Chú ý: \({d_1} \bot {d_2}\) và \(\Delta ABC\) vuông cân tại \[A\]  nên \[A\]  cách đều \({d_1},{d_2}\)

Ta có: \(A \in d:\,\,\,x + y - 5 = 0 \Rightarrow A\left( {a;\,\,5 - a} \right).\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow d\left( {A;\,\,{d_1}} \right) = d\left( {A;\,\,{d_2}} \right) \Leftrightarrow \frac{{\left| {a + 1} \right|}}{1} = \frac{{\left| {5 - a + 2} \right|}}{1}\\ \Leftrightarrow \left| {a + 1} \right| = \left| {7 - a} \right|\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a + 1 = 7 - a\\a + 1 = a - 7\end{array} \right. \Leftrightarrow a = 3 \Rightarrow A\left( {3;\,\,2} \right).\end{array}\)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}B \in {d_1} \Rightarrow B\left( { - 1;\,\,b} \right)\,\,\,\,\left( {b \le 0} \right)\\C \in {d_2} \Rightarrow C\left( {c; - 2} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AB}  = \left( { - 4;\,\,b - 2} \right)\\\overrightarrow {AC}  = \left( {c - 3;\,\, - 4} \right)\\\overrightarrow {BC}  = \left( {c + 1;\,\, - 2 - b} \right)\end{array} \right..\)  

\(\Delta ABC\) vuông cân tại \(A \Rightarrow AB \bot AC \Rightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  = 0.\)

Lại có \(BC = 5\sqrt 2  \Rightarrow B{C^2} = 50\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 4\left( {c - 3} \right) - 4\left( {b - 2} \right) = 0\\{\left( {c + 1} \right)^2} + {\left( {2 + b} \right)^2} = 50\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}c - 3 = 2 - b\\{\left( {c + 1} \right)^2} + {\left( {2 + b} \right)^2} = 50\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}c = 5 - b\\{\left( {5 - b + 1} \right)^2} + {\left( {2 + b} \right)^2} = 50\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}c = 5 - b\\2{b^2} - 8b - 10 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}c = 5 - b\\\left[ \begin{array}{l}b = 5\,\,\,\,\left( {ktm} \right)\\b =  - 1\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b =  - 1\\c = 6\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}B\left( { - 1; - 1} \right)\\C\left( {6; - 2} \right)\end{array} \right..\end{array}\)

Chọn  B