Phương pháp giải:

\(\Delta ABC\) cân tại \(A \Rightarrow AB = AC.\)

Lời giải chi tiết:

Toạ độ điểm \(B\)  là nghiệm của hệ phương trình:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + 2y - 2 = 0}\\{x - y + 4 = 0}\end{array} \Rightarrow B\left( { - 2;\,\,2} \right)} \right.\)

Gọi \(d\) là đường thẳng qua \(M\)  và song song với \(BC\)

\( \Rightarrow d:x + 1 + 2y = 0 \Leftrightarrow x + 2y + 1 = 0.\)

Gọi \(N\)   là giao điểm của \(d\) với đường cao kẻ từ \(B\)

\( \Rightarrow \) Toạ độ của \(N\)  là nghiệm của hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - y + 4 = 0}\\{x + 2y + 1 = 0}\end{array} \Rightarrow N\left( { - 3;1} \right)} \right.\)

Gọi \(I\)  là trung điểm của   \(MN \Rightarrow I\left( { - 2;\,\,\frac{1}{2}} \right).\)

 Gọi \(E\)  là trung điểm của \(BC \Rightarrow IE\)  là đường trung trực của  \(BC \Rightarrow IE:4x - 2y + 9 = 0\)

Toạ độ \(E\)  là nghiệm của hệ phương trình:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + 2y - 2 = 0}\\{4x - 2y + 9 = 0}\end{array} \Rightarrow E\left( {\frac{{ - 7}}{5};\frac{{17}}{{10}}} \right) \Rightarrow C\left( {\frac{{ - 4}}{5};\frac{7}{5}} \right)} \right.\)

Đường thẳng \(CA\)  qua \(C\)  và vuông góc với  \(BN\)

\( \Rightarrow CA:\,\,x + \frac{4}{5} + y - \frac{7}{5} = 0 \Leftrightarrow x + y - \frac{3}{5} = 0.\)  

Toạ độ đỉnh \(A\)  là nghiệm của hệ phương trình:  \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{4x - 2y + 9 = 0}\\{x + y - \frac{3}{5} = 0}\end{array} \Rightarrow } \right.A\left( { - \frac{{13}}{{10}};\frac{{19}}{{10}}} \right)\)

Chọn  A