Phương pháp giải:

Sử dụng tính chất của tam giác cân và công thức tính chu vi tam giác để làm bài.

Lời giải chi tiết:

Theo đề bài ta có:

\(\begin{array}{l}\left\{ B \right\} = AB \cap Ox \Rightarrow B\left( {1;\,\,0} \right)\\A \in AB \Rightarrow A\left( {a;\,\,\,3\sqrt 7 \left( {a - 1} \right)} \right) \Rightarrow a > 1\,\,\,\,\left( {do{\rm{ }}{x_A} > 0,{y_A} > 0} \right)\end{array}\)

Gọi \(AH\)  là đường cao của \(\Delta ABC \Rightarrow H\) là hình chiếu của \(A\) trên \(Ox\)

\( \Rightarrow H\left( {a;\,\,0} \right)\)

Mà \(\Delta ABC\) là \(\Delta \) cân tại \(A \Rightarrow H\) là trung điểm của \(BC\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow C\left( {2a - 1;0} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {BC}  = \left( {2a - 2;\,\,0} \right)\\\overrightarrow {AB}  = \left( {1 - a;\,\, - 3\sqrt 7 \left( {a - 1} \right)} \right)\end{array} \right.\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}BC = \sqrt {{{\left[ {2\left( {a - 1} \right)} \right]}^2}}  = 2\left( {a - 1} \right)\,\,\,\,\left( {a > 1} \right)\\AC = AB = \sqrt {{{\left( {1 - a} \right)}^2} + 63\left( {a - 1} \right)}  = 8\left( {a - 1} \right)\,\,\,\,\left( {a > 1} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Chu vi \(\Delta ABC\) là \(18 \Rightarrow AB + BC + CA = 18\)  

\(\begin{array}{l}\, \Leftrightarrow \,2.8\left( {a - 1} \right) + 2\left( {a - 1} \right) = 18\\ \Leftrightarrow 18\left( {a - 1} \right) = 18\\ \Leftrightarrow a - 1 = 1\\ \Leftrightarrow a = 2\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}C\left( {3;\,\,0} \right)\\A\left( {2;\,\,3\sqrt 7 } \right)\end{array} \right..\end{array}\)

Chọn  C