Phương pháp giải:

- Tính \(y'\). Sử dụng \({\left( {f\left( u \right)} \right)^\prime } = u'f'\left( u \right)\)

- Tìm số nghiệm bội lẻ của phương trình \(y' = 0\) và kết luận.

Lời giải chi tiết:

Xét hàm số \(y = f\left( {{x^2} + 2x} \right)\) trên \(\mathbb{R}\).

Ta có \(y' = \left( {2x + 2} \right)f'\left( {{x^2} + 2x} \right)\).

Từ BBT hàm \(f'\left( x \right)\) ta có \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = a\\x = b\\x = c\\x = d\end{array} \right.\) với \(a <  - 1 < b < 0 < c < 1 < d\)

Xét phương trình \(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 1\\f'\left( {{x^2} + 2x} \right) = 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 1\\{x^2} + 2x = a\\{x^2} + 2x = b\\{x^2} + 2x = c\\{x^2} + 2x = d\end{array} \right.\) với \(a <  - 1 < b < 0 < c < 1 < d\)

Vì \({x^2} + 2x \ge  - 1;\,\forall x\)  nên

+ Phương trình \({x^2} + 2x = a\) vô nghiệm vì \(a <  - 1\)

+ Mỗi phương trình \({x^2} + 2x = b;{x^2} + 2x = c;{x^2} + 2x = d\)  đều có 2 nghiệm phân biệt và khác nhau, cùng khác \( - 1\) \(\left( {do\, - 1 < b < 0 < c < 1 < d} \right)\) .

Suy ra phương trình \(y' = 0\) có 7 nghiệm đơn.

Vậy hàm số \(y = f\left( {{x^2} + 2x} \right)\) có 7 điểm cực trị.

Chọn D.