Phương pháp giải:

Biến đổi đưa bất phương trình về dạng \(m < g\left( x \right)\) trên \(\left( {0;2} \right)\)

Lập BBT của hàm số \(y = g\left( x \right)\) trên \(\left( {0;2} \right)\) từ đó suy ra \(m\).

Lời giải chi tiết:

Ta có \(f\left( x \right) > x + m \Leftrightarrow m < f\left( x \right) - x\)

Bất phương trình \(f\left( x \right) > x + m\) nghiệm đúng với mọi \(x \in \left( {0\,;2} \right)\)

Hay \(m < f\left( x \right) - x\) nghiệm đúng với mọi \(x \in \left( {0\,;2} \right)\) (1)

Xét hàm số \(g\left( x \right) = f\left( x \right) - x\) trên khoảng \(\left( {0\,;2} \right)\)

Có \(g'\left( x \right) = f'\left( x \right) - 1\)

Từ đồ thị hàm \(y = f'\left( x \right)\) ta thấy \(f'\left( x \right) < 1\) với \(\forall x \in \left( {0;2} \right)\)

Nên \(g'\left( x \right) = f'\left( x \right) - 1 < 0\) với \(\forall x \in \left( {0;2} \right)\)

Bảng biến thiên hàm số \(y = g\left( x \right)\) trên \(\left( {0;2} \right)\)

Vậy từ (1) suy ra \(m \le g\left( 2 \right)\)\( \Leftrightarrow m \le f\left( 2 \right) - 2\).

Chọn A.