Phương pháp giải:

+) Lập phương trình đường thẳng \(AB.\)

+) Áp dụng công thức tính khoảng cách từ 1 điểm đến 1 đường thẳng để làm bài toán.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(M \in d \Rightarrow M\left( {2m + 1;\,\,m} \right).\)

Phương trình đường thẳng \(AB\) có dạng: \(\frac{{x - 1}}{{4 - 1}} = \frac{{y - 1}}{{ - 3 - 1}} \Leftrightarrow  - 4\left( {x - 1} \right) = 3\left( {y - 1} \right) \Leftrightarrow 4x + 3y - 7 = 0.\)

Theo đề bài ta có: \(d\left( {M;\,\,AB} \right) = 6\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{{\left| {4.\left( {2m + 1} \right) + 3m - 7} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {3^2}} }} = 6 \Leftrightarrow \left| {8m + 4 + 3m - 7} \right| = 6.5\\ \Leftrightarrow \left| {11m - 3} \right| = 30 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}11m - 3 = 30\\11m - 3 =  - 30\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 3\\m =  - \frac{{27}}{{11}}\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}M\left( {7;\,\,3} \right)\\M\left( { - \frac{{54}}{{11}};\,\, - \frac{{27}}{{11}}} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Lại có tọa độ điểm \(M\) nguyên \( \Rightarrow M\left( {7;\,\,3} \right)\) thỏa mãn điều kiện bài toán.

Chọn  B.