Câu hỏi
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình thoi, tam giác \(SAB\) đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\). Biết \(AC = 2a,\,\,BD = 4a\). Tính theo \(a\) thể tích khối chóp \(S.ABCD\).
- A \(\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{15}}\)
- B \(\dfrac{{{a^3}\sqrt {15} }}{3}\)
- C \(\dfrac{{2{a^3}\sqrt {15} }}{3}\)
- D \(\dfrac{{{a^3}\sqrt {15} }}{2}\)
Phương pháp giải:
+) Gọi \(H\) là trung điểm của \(AB\), chứng minh \(SH \bot \left( {ABCD} \right)\).
+) Áp dụng định lí pytago tính \(AB\), từ đó tính \(SH\).
+) \({V_{S.ABCD}} = \dfrac{1}{3}SH.{S_{ABCD}}\).
Lời giải chi tiết:
Gọi \(H\) là trung điểm của \(AB \Rightarrow SH \bot AB\).
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\\\left( {SAB} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = AB\\\left( {SAB} \right) \supset SH \bot AB\end{array} \right. \Rightarrow SH \bot \left( {ABCD} \right)\).
Ta có \(OA = \dfrac{1}{2}AC = a;\,\,OB = \dfrac{1}{2}BD = 2a\).
Xét tam giác vuông \(OAB:\,\,AB = \sqrt {O{A^2} + O{B^2}} = a\sqrt 5 \).
\( \Rightarrow \Delta SAB\) đều cạnh \(a\sqrt 5 \Rightarrow SH = \dfrac{{a\sqrt 5 .\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{a\sqrt {15} }}{2}\).
\({S_{ABCD}} = \dfrac{1}{2}AC.BD = \dfrac{1}{2}.2a.4a = 4{a^2}\).
Vậy \({V_{S.ABCD}} = \dfrac{1}{3}SH.{S_{ABCD}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{a\sqrt {15} }}{2}.4{a^2} = \dfrac{{2{a^3}\sqrt {15} }}{3}\).
Chọn C.
Câu hỏi trước
