Câu hỏi
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thoi cạnh \(a.\,\,SAB\) là tam giác vuông cân tại \(S\) và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, góc giữa cạnh \(SC\) và mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) bằng \({60^0}\), cạnh \(AC = a\). Tính theo \(a\) thể tích khối chóp \(S.ABCD\).
- A \(\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{4}\)
- B \(\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{2}\)
- C \(\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3}\)
- D \(\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{9}\)
Phương pháp giải:
+) Gọi \(M\) là trung điểm của \(AB\). Chứng minh \(SM \bot \left( {ABCD} \right)\).
+) \({V_{S.ABCD}} = \dfrac{1}{3}SM.{S_{ABCD}}\).
Lời giải chi tiết:
Gọi \(M\) là trung điểm của \(AB \Rightarrow SM \bot AB\).
Mà \(\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SM \bot \left( {ABCD} \right)\).
\( \Rightarrow MC\) là hình chiếu của \(SC\) trên \(\left( {ABCD} \right)\)
\( \Rightarrow \angle \left( {SC;\left( {ABCD} \right)} \right) = \angle \left( {SC;MC} \right) = \angle SCM = {60^0}\).
Xét tam giác \(ABC\) có \(AB = BC = CA = a \Rightarrow \Delta ABC\) đều cạnh \(a \Rightarrow MC = {{a\sqrt 3 } \over 2}\).
Xét tam giác vuông \(SMC\) có : \(SM = MC.\tan {60^0} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}.\sqrt 3 = \dfrac{{3a}}{2}\).
\({S_{\Delta ABC}} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} \Rightarrow {S_{ABCD}} = 2{S_{\Delta ABC}} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}\).
Vậy \({V_{S.ABCD}} = \dfrac{1}{3}SM.{S_{ABCD}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{3a}}{2}.\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{4}\).
Chọn A.
Câu hỏi trước
