Phương pháp giải:

\({V_{S.ABCD}} = \dfrac{1}{3}SM.{S_{ABCD}}\).

Lời giải chi tiết:

Tam giác \(SAB\) cân tại \(S\,\,\left( {gt} \right) \Rightarrow SM \bot AB \Rightarrow SM \bot \left( {ABCD} \right)\).

\( \Rightarrow MC\) là hình chiếu của \(SC\) trên \(\left( {ABCD} \right) \Rightarrow \angle \left( {SC;\left( {ABCD} \right)} \right) = \angle \left( {SC;MC} \right) = \angle SCM = {60^0}\).

Trong tam giác vuông \(SMC\) và \(SMD\) ta có: \(SM = \sqrt {S{D^2} - M{D^2}}  = MC.\tan {60^0}\).

Mà \(MC = MD\) (do \(ABCD\) là hình vuông).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \sqrt {S{D^2} - M{D^2}}  = MD.\tan {60^0} \Leftrightarrow S{D^2} - M{D^2} = 3M{D^2}\\ \Leftrightarrow M{D^2} = \dfrac{{S{D^2}}}{4} = 5{a^2} \Leftrightarrow MD = a\sqrt 5 \end{array}\).

\( \Rightarrow SM = \sqrt {20{a^2} - 5{a^2}}  = \sqrt {15{a^2}}  = a\sqrt {15} \).

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông \(AMD\) có :

\(M{D^2} = A{D^2} + A{M^2} \Leftrightarrow 5{a^2} = A{D^2} + \dfrac{1}{4}A{D^2} = \dfrac{5}{4}A{D^2} \Leftrightarrow A{D^2} = 4{a^2} \Leftrightarrow AD = 2a\).

Vậy \({V_{S.ABCD}} = \dfrac{1}{3}SM.{S_{ABCD}} = \dfrac{1}{3}.a\sqrt {15} .{\left( {2a} \right)^2} = \dfrac{{4{a^3}\sqrt {15} }}{3}\).

Chọn A.