Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp hình học.

Lời giải chi tiết:

Theo bài ra ta có:

\(\begin{array}{l}\left| {w + i} \right| = \dfrac{{3\sqrt 5 }}{5} \Leftrightarrow \left| {\dfrac{{\left( {2 + i} \right)\left( {z - 4} \right)}}{5} + i} \right| = \dfrac{{3\sqrt 5 }}{5}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{\left| {\left( {2 + i} \right)\left( {z - 4} \right) + 5i} \right|}}{5} = \dfrac{{3\sqrt 5 }}{5} \Leftrightarrow \left| {\left( {2 + i} \right)\left( {z - 4} \right) + 5i} \right| = 3\sqrt 5 \\ \Leftrightarrow \left| {\left( {2 + i} \right)z - 8 - 4i + 5i} \right| = 3\sqrt 5  \Leftrightarrow \left| {\left( {2 + i} \right)z - 8 + i} \right| = 3\sqrt 5 \\ \Leftrightarrow \left| {2 + i} \right|.\left| {z + \dfrac{{ - 8 + i}}{{2 + i}}} \right| = 3\sqrt 5  \Leftrightarrow \sqrt 5 \left| {z - 3 + 2i} \right| = 3\sqrt 5 \\ \Leftrightarrow \left| {z - 3 + 2i} \right| = 3\end{array}\)

Suy ra tập hợp các điểm biểu diễn số phức \(z\) là đường tròn tâm \(I\left( {3; - 2} \right)\) bán kính \(R = 3\).

Gọi \(M\) là điểm biểu diễn số phức \(z\); \(A\left( {0;2} \right);\,\,B\left( {6;2} \right)\) lần lượt là các điểm biểu diễn các số phức \(2i;\,\,6 + 2i\).

Yêu cầu bài toán trở thành tìm \(M\) để \(MA + MB\) lớn nhất, \(M\) chạy trên đường tròn  tâm \(I\left( {3; - 2} \right)\) bán kính \(R = 3\).

Gọi \(N\) là trung điểm của \(AB \Rightarrow N\left( {3;2} \right)\).

Ta có \({\left( {MA + MB} \right)_{\max }} \Leftrightarrow M{N_{\max }} \Leftrightarrow MN = NI + R = 4 + 3 = 7\). Khi đó \(M\left( {3; - 5} \right)\).

Vậy \({\left( {MA + MB} \right)_{\max }} = 2\sqrt {{3^2} + {7^2}}  = 2\sqrt {58} \).

Chọn C