Phương pháp giải:

Xác định điều kiện của m để \(y' \ge 0,\,\,\forall x \in \left( {0; + \infty } \right)\)

Lời giải chi tiết:

Ta có \(y' = 3{x^2} + 2\left( {1 - 2m} \right)x + 2 - m\).

\(\Delta ' = {\left( {1 - 2m} \right)^2} - 3\left( {2 - m} \right) = 1 - 4m + 4{m^2} - 6 + 3m = 4{m^2} - m - 5\)

Hàm số đã cho đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\Delta ' \le 0\\3 > 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}\Delta ' > 0\\{x_1} < {x_2} \le 0\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\Delta ' \le 0\\\left\{ \begin{array}{l}\Delta ' > 0\\S < 0\\P \ge 0\end{array} \right.\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - 1 \le m \le \dfrac{5}{4}\\\left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m > \dfrac{5}{4}\\m <  - 1\end{array} \right.\\2.\dfrac{{2m - 1}}{3} < 0\\\dfrac{{2 - m}}{3} \ge 0\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - 1 \le m \le \dfrac{5}{4}\\\left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m > \dfrac{5}{4}\\m <  - 1\end{array} \right.\\m < \dfrac{1}{2}\\m \le 2\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - 1 \le m \le \dfrac{5}{4}\\m <  - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow m \le \dfrac{5}{4}\)

\( \Rightarrow a = 4,\,\,b = 5 \Rightarrow T = 2a + b = 2.4 + 5 = 13\)

Chọn: C