Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tính thể tích phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng \(x = a,x = b\) là \(V = \int\limits_a^b {S\left( x \right)dx} \), ở đó \(S\left( x \right)\) là diện tích thiết diện khi cắt vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với trục \(Ox\) tại điểm có hoành độ \(x\left( {a \le x \le b} \right)\).

Lời giải chi tiết:

Quan sát hình vẽ, ta thấy thiết diện là hình vuông cạnh \(AB\).

Gọi \(H = AB \cap Ox \Rightarrow OH = x,OA = 1 \Rightarrow AH = \sqrt {1 - {x^2}} \) \( \Rightarrow AB = 2\sqrt {1 - {x^2}}  \Rightarrow S\left( x \right) = A{B^2} = 4\left( {1 - {x^2}} \right)\).

Vật thể đã cho giới hạn bởi hai mặt phẳng \(x =  - 1,x = 1\) và có diện tích thiết diện \(S\left( x \right) = 4\left( {1 - {x^2}} \right)\) nên có thể tích \(V = \int\limits_{ - 1}^1 {4\left( {1 - {x^2}} \right)dx}  = \left. {\left( {4x - \dfrac{4}{3}{x^3}} \right)} \right|_{ - 1}^1 = \dfrac{{16}}{3}\).

Chọn A.