Câu hỏi
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông cạnh \(a\), hình chiếu vuông góc của \(S\) trên mặt đáy nằm trong hình vuông \(ABCD\). Biết rằng \(SA\) và \(SC\) tạo với đáy các góc bằng nhau, góc giữa \(SB\) và đáy bằng \({45^0}\), góc giữa \(SD\) và đáy bằng \(\alpha \) với \(\tan \alpha = \dfrac{1}{3}\). Tính thể tích khi chóp đã cho.
- A \(\dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{6}\)
- B \(\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6}\)
- C \(\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{12}}\)
- D \(\dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{12}}\)
Phương pháp giải:
- Tìm vị trí điểm \(H\) trên mặt đáy, sử dụng các mối quan hệ góc bài cho.
- Tính \(SH\) và suy ra thể tích theo công thức \(V = \dfrac{1}{3}Bh\) với \(B\) là diện tích đáy, \(h\) là chiều cao.
Lời giải chi tiết:
Theo giả thiết, \(\widehat {SAH} = \widehat {SCH},\widehat {SBH} = {45^0},\tan \widehat {SDH} = \dfrac{1}{3}\).
Tam giác \(\Delta SAH = \Delta SCH \Rightarrow HA = HC\) \( \Rightarrow H\) nằm trên trung trực của \(AC\).
Mà \(BD\) là đường trung trực của \(AC\) nên \(H \in BD\).
Lại có \(\widehat {SBH} = {45^0} \Rightarrow HB = HS,\tan \widehat {SDH} = \dfrac{1}{3} = \dfrac{{SH}}{{HD}}\) \( \Rightarrow \dfrac{{HB}}{{HD}} = \dfrac{1}{3} \Rightarrow \dfrac{{HB}}{{BD}} = \dfrac{1}{4}\).
Mà \(BD = a\sqrt 2 \Rightarrow HB = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{4} \Rightarrow SH = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{4}\)
Vậy \({V_{S.ABCD}} = \dfrac{1}{3}SH.{S_{ABCD}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{a\sqrt 2 }}{4}.{a^2} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{12}}\).
Chọn D.
Câu hỏi trước
