Phương pháp giải:

- Tính \(y',y''\), tìm nghiệm của \(y''\) và lập bảng biến thiên của hàm số đã cho.

- Từ đó suy ra GTLN của hàm số tại điểm \({x_0}\) thuộc khoảng thích hợp.

Lời giải chi tiết:

Ta có : \(y = 2f\left( {x - 3} \right) + 16x + 1\) xác định trên \(\mathbb{R}\) có : \(y' = 2f'\left( {x - 3} \right) + 16\)

\( \Rightarrow y'' = 2f''\left( {x - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 3 =  - 2\\x - 3 = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 4\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow y'\left( 1 \right) = 2f'\left( { - 2} \right) + 16 = 2.\left( { - 8} \right) + 16 = 0\) và \(y'\left( 4 \right) = 2f'\left( 1 \right) + 16 = 2.4 + 16 = 24\).

Bảng biến thiên cảu hàm số \(y'\) như sau :

Từ bảng biến thiên ta thấy, \(y' \ge 0,\forall x \le {x_0}\) và \(y' < 0,\forall x > {x_0}\).

Bảng biến thiên của hàm số \(y\) như sau :

Quan sát bảng biến thiên ta thấy hàm số \(y = 2f\left( {x - 3} \right) + 16x + 1\) đạt GTLN tại \(x = {x_0} \in \left( {4; + \infty } \right)\).

Chọn B.