Phương pháp giải:

Sử dụng BĐT \(\left| a \right| + \left| b \right| \ge \left| {a + b} \right|\), đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(ab \ge 0\).

Lời giải chi tiết:

Xét \(f\left( x \right) = \left| {{x^2} + ax + b} \right|\) trên đoạn \(\left[ { - 1;3} \right]\), ta có: 

\(M = \mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;3} \right]} f\left( x \right) \Rightarrow M \ge f\left( { - 1} \right) = \left| {1 - a + b} \right| \Rightarrow 2M \ge \left| {2 - 2a + 2b} \right|\)

Đồng thời \(M \ge f\left( 3 \right) = \left| {9 + 3a + b} \right|\)

\( \Rightarrow 4M \ge \left| {1 - a + b} \right| + \left| { - 2 - 2a - 2b} \right| + \left| {9 + 3a + b} \right| \ge \left| {1 - a + b - 2 - 2a - 2b + 9 + 3a + b} \right| = 8\)\( \Rightarrow M \ge 2\)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(\left| {1 - a + b} \right| = \left| { - 1 - a - b} \right| = \left| {9 + 3a + b} \right| = 2\) và \(1 - a + b;\,\, - 1 - a - b;\,\,9 + 3a + b\) cùng dấu

\( \Leftrightarrow a =  - 2,\,\,b =  - 1 \Rightarrow a + 2b =  - 4\).

Chọn: C