Phương pháp giải:

Hàm số \(y = f\left( x \right) = {x^4} + a{x^3} + b{x^2} + 1\) đạt giá trị nhỏ nhất tại \(x = 0\) nên \(f\left( x \right) \ge f\left( 0 \right)\,\,\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow {x^4} + a{x^3} + b{x^2} + 1 \ge 1\,\,\forall x \in \mathbb{R}\).

Lời giải chi tiết:

Đặt \(y = f\left( x \right) = {x^4} + a{x^3} + b{x^2} + 1\).

Từ giả thiết ta có \(f\left( x \right) \ge f\left( 0 \right)\,\,\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow {x^4} + a{x^3} + b{x^2} + 1 \ge 1\,\,\forall x \in \mathbb{R}\).

\( \Leftrightarrow {x^4} + a{x^3} + b{x^2} \ge 0\,\,\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow {x^2}\left( {{x^2} + ax + b} \right) \ge 0\,\,\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow {x^2} + ax + b \ge 0\,\,\forall x \in \mathbb{R}\).

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 > 0\,\,\left( {luon\,\,dung} \right)\\\Delta  = {a^2} - 4b \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow 4b \ge {a^2} \Leftrightarrow b \ge \frac{{{a^2}}}{4}\).

Khi đó \(S = a + b \ge a + \frac{{{a^2}}}{4} = \frac{1}{4}\left( {{a^2} + 4a} \right) = \frac{1}{4}\left( {{a^2} + 4a + 4} \right) - 1 = \frac{1}{2}{\left( {a + 2} \right)^2} - 1 \ge  - 1\).

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow a =  - 2\).

Vậy \({S_{\min }} =  - 1\).

Chọn D.