Phương pháp giải:

Góc giữa đường thẳng \(d\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\) là góc giữa \(d\) và \(d'\) với \(d'\) là hình chiếu của \(d\) lên \(\left( P \right).\)

Thể tích khối lăng trụ có chiều cao \(h\) và diện tích đáy \(S\) là \(V = h.S\)

Sử dụng định lý Pytago và tỉ số lượng giác của góc nhọn để tính toán.

Lời giải chi tiết:

Hình chiếu của \(A'C\) xuống mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) là \(BC\) nên góc giữa \(A'C\) và mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) là góc giữa \(A'C\) và \(BC\) hay \(\angle A'CB = {30^0}\)

Vì \(A'B \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow A'B \bot BC\)

Xét tam giác vuông \(A'BC\) có \(A'B = BC.\sin \angle A'CB = 2a.\tan 30^\circ  = \frac{{2a}}{{\sqrt 3 }}\)

Xét tam giác vuông \(ABC\), theo định lý Pytago ta có \(AC = \sqrt {B{C^2} - A{B^2}}  = \sqrt {4{a^2} - {a^2}}  = a\sqrt 3 \)

Thể tích khối lăng trụ là \({V_{ABC.A'B'C'}} = A'B.{S_{ABC}} = A'B.\frac{1}{2}AB.AC = \frac{{2a}}{{\sqrt 3 }}.\frac{1}{2}a.a\sqrt 3  = {a^3}\) .

Chọn C.