Phương pháp giải:

Chứng minh tập hợp các điểm H là giao của mặt cầu cố định và mặt phẳng cố định.

Lời giải chi tiết:

Gọi K là trực tâm của tam giác ABC;  I, J lần lượt là chân đường cao của tam giác SBC ứng với đỉnh S, B.

\( \Rightarrow HK//SA \Rightarrow HK \bot \left( {ABC} \right)\)\( \Rightarrow BC \bot HK\) (1)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}BK \bot AC\\BK \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BK \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow BK \bot SC\)

Mà \(SC \bot BH \Rightarrow SC \bot \left( {BHK} \right) \Rightarrow SC \bot HK\) (2)

Từ (1), (2) suy ra \(HK \bot \left( {SBC} \right) \Rightarrow HK \bot HI \Rightarrow H\) thuộc mặt cầu (S) có đường kính là IK. (Mặt cầu này là cố định do I, K lần lượt là trung điểm cạnh BC, trực tâm tam giác ABC, đều là các điểm cố định).

Mặt khác H thuộc mặt phẳng cố định là \(\left( \alpha  \right)\) (mặt phẳng chứa AI và vuông góc với (ABC).

\( \Rightarrow H \in \left( C \right)\) là đường tròn giao tuyến của \(\left( \alpha  \right)\) và \(\left( S \right)\).

Do đường kính \(IK \in \left( \alpha  \right)\) nên \(\left( C \right)\) là đường tròn có đường kính bằng đường kính mặt cầu \(\left( S \right)\), có độ dài là:

\(IK = \dfrac{1}{3}.AI = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{6}\).

Chọn: B