Phương pháp giải:

Xác định khoảng giá trị \(T\) của \(3{\sin ^2}x - 1\) trên đoạn \(\left[ { - 1;3} \right]\).

Xác định giá trị lớn nhất của hàm số \(y = f\left( x \right)\) trên \(T\).

Lời giải chi tiết:

\(\pi \int\limits_0^1 {\left( {{x^2} + 1} \right)dx} \)

Với \(x \in \left[ { - 1;3} \right]\) thì \(\left( {3{{\sin }^2}x - 1} \right) \in \left[ { - 1;2} \right]\)

Khi đó, GTLN của hàm số \(y = f\left( {3{{\sin }^2}x - 1} \right)\) trên đoạn \(\left[ { - 1;3} \right]\) chính là GTLN của hàm số \(y = f\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ { - 1;2} \right]\) và bằng \(f\left( 0 \right) = 2\).

Chọn: B